정규분포 계산기

브라우저 처리

평균과 표준편차, 값 x를 넣으면 z 점수와 x 이하·초과일 확률(누적확률), 확률밀도를 계산합니다. 시험 점수나 키가 상위·하위 몇 %인지 볼 때 씁니다.

도구 실행입력 후 결과 확인

정규분포 계산기 샘플 실행

키나 시험 점수처럼 평균 근처에 많이 모이고 양쪽 끝으로 갈수록 드물어지는 자료는 정규분포로 설명하는 경우가 많습니다. 이 계산기는 mean(평균), standard_deviation(표준편차), x를 넣으면 x가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지(z 점수)와 x 이하일 확률을 계산합니다.

브라우저 처리

샘플 입력

mean=500
standard_deviation=100
x=650

샘플 결과

z 점수: 1.5
x에서의 확률밀도(PDF): 0.00129517595666
P(X ≤ x): 0.933192798731 (93.3193%)
P(X > x): 0.0668072012689 (6.68072%)

자바스크립트가 활성화되면 이 영역이 실제 입력, 실행, 결과 패널로 바뀝니다.

정규분포 계산기 사용 가이드

z = (x − 평균) ÷ 표준편차이고, P(X ≤ x)는 표준정규분포의 누적확률 Φ(z)입니다. 누적확률은 Hart(1968) 알고리즘으로 배정밀도 수준까지 계산하므로 표에서 찾는 값보다 자릿수가 많습니다.

평균 100, 표준편차 15인 분포에서 115는 z = 1이고, 115 이하일 확률은 약 84.13%, 초과일 확률은 약 15.87%입니다. 즉 115는 상위 약 16% 지점입니다.

사용 방법

mean=에 평균, standard_deviation=에 표준편차를 적습니다.
x=에 확률을 알고 싶은 값을 적습니다.
'실행'을 누르고 z 점수와 P(X ≤ x), P(X > x)를 확인합니다. 상위 비율은 P(X > x)입니다.

예시: 평균 500, 표준편차 100에서 650점

입력

mean=500
standard_deviation=100
x=650

결과

z 점수: 1.5
x에서의 확률밀도(PDF): 0.00129517595666
P(X ≤ x): 0.933192798731 (93.3193%)
P(X > x): 0.0668072012689 (6.68072%)

650점은 평균보다 표준편차 1.5개 위로, 상위 약 6.7%에 해당합니다.

이럴 때 쓰면 좋아요

표준화된 시험 점수가 상위 몇 %인지 대략 볼 때
키·몸무게가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지 z 점수로 볼 때
제품 규격 상한을 넘는 불량 비율을 추정할 때
통계 과제에서 표준정규분포표 값을 확인할 때

문제가 생겼을 때

표준편차 대신 분산을 넣음

분산(예: 225)을 넣으면 z 점수가 작게 나옵니다. 분산의 제곱근인 표준편차(15)를 넣으세요.

두 값 사이의 확률을 한 번에 구하려 함

한 번에 한 값의 누적확률만 계산합니다. a와 b 사이 확률은 x=b와 x=a로 각각 실행한 P(X ≤ x)의 차이로 구하세요.

활용 팁

정규분포에서는 평균 ±1 표준편차 안에 약 68.3%, ±2 표준편차 안에 약 95.4%, ±3 표준편차 안에 약 99.7%가 들어갑니다.
확률밀도(PDF)는 그 점의 확률이 아니라 곡선의 높이입니다. 연속분포에서 정확히 한 값이 나올 확률은 0이고, 확률은 구간의 넓이로 구합니다.
실제 자료가 한쪽으로 치우쳐 있으면 정규분포 결과와 실제 비율이 다를 수 있습니다. 소득이나 대기 시간 같은 자료는 특히 주의하세요.

자주 묻는 질문

표준정규분포표와 값이 조금 다른데요?

표는 보통 소수 넷째 자리까지 반올림한 값입니다. 이 계산기는 더 많은 자릿수를 보여 주므로, 같은 자리에서 반올림하면 표와 같습니다.

상위 10%가 되는 점수는 어떻게 구하나요?

이 계산기는 x에서 확률을 구하는 방향만 계산합니다. 상위 10% 경계의 z 값은 약 1.2816이므로 평균 + 1.2816 × 표준편차로 구할 수 있습니다.

z 점수가 음수면 무슨 뜻인가요?

x가 평균보다 작다는 뜻입니다. z = −1이면 평균보다 표준편차 하나만큼 아래이고, 그 이하일 확률은 약 15.87%입니다.